Pembahasan soal Integral

PEMBAHASAN SOAL INTEGRAL

Berikut ini adalah pembahasan soal-soal matematika SMA tentang integral. Mudah-mudahan pembahasan soal ini bermanfaat buat semua yang membutuhkan, terutama buat siswa yang kesulitan belajar matematika. Pembahasan soal ini dapat digunakan sebagai bahan belajar dalam menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, Ujian sekolah, Ujian Nasional, Pra UN / TO dan ujian lainnya. Langsung saja bisa disimak pembahasan soal-soal tentang integral dibawah ini.

Nomor 1 (UN 2014)
Hasil dari ∫(8x³ + 2x + 3) dx = ...
A. 24x² + 2 + C
B. 8x² + 2 + C
C. 2x⁴ + 2x² + 3x + C
D. 2x⁴ + x² + 3x + C
E. 3x⁴ + 2x² + 3x + C

Pembahasan
∫(8x³ + 2x + 3) dx = 8 / (3 + 1) . x^{3 + 1} + 2 / (1 + 1) x^{1 + 1} +  3 / (0 + 1) x^{0 + 1} + C
∫(8x³ + 2x + 3) dx = 8/4 . x⁴ + 2/2 x² +  3/1 x¹ + C
∫(8x³ + 2x + 3) dx = 2x⁴ + x² +  3x + C
Jawaban: D

Nomor 2 (UN 2014)
Hasil dari ∫(4x³ - 6x² + 4x + 3) dx = ...
A. 4x⁴ - 3x³ + 4x² + 3x + C
B. 4/3 x⁴ - 3x³ + 4x² + 3x + C
C. 3/4 x⁴ - 2x³ + 2x² + 3x + C
D. x⁴ - 2x³ + 2x² + 3 + C
E. x⁴ - 2x³ + 2x² + 3x + C

Pembahasan
∫(4x³ - 6x² + 4x + 3) dx = 4/(3 + 1) . x^{3 + 1} - 6/(2 + 1) x^{2 + 1} +  4/(1 + 1) x^{1 + 1} + 3/(0 + 1) x^{0 + 1} + C
∫(4x³ - 6x² + 4x + 3) dx = 4/4 . x⁴ - 6/3 x³ +  4/2 x² + 3/1 x¹ + C
∫(4x³ - 6x² + 4x + 3) dx = x⁴ - 2x³ +  2x² + 3x + C
Jawaban: E

Nomor 3
Hasil pengintegralan dari ∫(2x + 3)⁴ dx adalah...
A. 1/5 (2x + 3)⁵ + C
B. -1/5 (2x + 3)⁵ + C
C. 1/10 (2x + 3)⁵ + C
D. -1/10 (2x + 3)⁵ + C
E. (2x + 3)⁵ + C

Pembahasan
Misal U = 2x + 3 maka dU/dx = 2 sehingga dx = dU/2
∫(2x + 3)⁴ dx = ∫U⁴ dU/2 = 1/(4 + 1) U^{4 + 1} / 2 + C = 1/5 U⁵/2 + C (ganti U = 2x + 3)
∫(2x + 3)⁴ dx = 1/10 (2x + 3)⁵+ C
Jawaban: C

Nomor 4
Hasil dari ₁∫³ (3x² – 2x + 2) dx adalah...
A. 4
B. 8
C. 18
D. 20
E. 22

Pembahasan

₁∫³ (3x² – 2x + 2) dx = [3/(2 + 1) x^{2 + 1} – 2/(1 + 1) x^{1 + 1} + 2/(1 + 0) x^{0 + 1}]

[3/3 x³ – 2/2 x² + 2/1 x¹]

[x³ – x² + 2x] = 40 (ganti x = 3 dan dikurang x = 1)

[3³ – 3² + 2 . 3] - [1³ – 1² + 2 . 1] = [27 - 9 + 6] - [1 - 1 + 2]

= 24 - 2 = 22

Jawaban: E

Nomor 5

Nilai _p∫³ (3x² – 2x + 2) dx = 40, maka nilai 1/2 p adalah...

A. 2

B. 1

C. -1

D. -2

E. -4

Pembahasan

_p∫³ (3x² – 2x + 2) dx = [3/(2 + 1) x^{2 + 1} – 2/(1 + 1) x^{1 + 1} + 2/(1 + 0) x^{0 + 1}] = 40

[3/3 x³ – 2/2 x² + 2/1 x¹] = 40

[x³ – x² + 2x] = 40 (ganti x = 3 dan dikurang x = p)

[3³ – 3² + 2 . 3] - [p³ – p² + 2p] = 40

27 - 9 + 6 - p³ + p² - 2p = 40

p³ - p² + 2p = 24 - 40

p³ - p² + 2p = - 16 (ganti p = -2)

(-2)³ - (-2)² + 2 (-2) = -8 - 4 - 4 = - 16

Jadi p = -2 sehingga 1/2 p = 1/2 (-2) = -1

Jawaban: C

Nomor 6

Hasil dari ∫5 sin 5x dx = ...

A. 3/5 cos 5x + C

B. -3/5 cos 5x + C

C. -3/5 sin 5x + C

D. 3/5 sin 5x + C

E. - cos 5x + C

Pembahasan

Misal U = 5x maka dU/dx = 5 atau dx = dU/5

∫5 sin 5x dx = ∫5 sin U dU/5 = ∫sin U dU = - cos U + C

Ganti U = 5x

∫5 sin 5x dx = - Cos 5x + C

Jawaban: E

Nomor 7

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 4x + 5, sumbu x dan 1 ≤ x ≤ 4 adalah...

A. 38 satuan luas

B. 25 satuan luas

D. 14 satuan luas

C. 23 2/3 satuan luas

D. 23 1/3 satuan luas

Pembahasan

Luas daerah = ₁∫⁴ (-x² + 4x + 5) dx = [-1/(2 + 1) x^{2 + 1} + 4/(1 + 1) x^{1 + 1} + 5/(1 + 0) x^{0 + 1}]

[-1/3 x³ + 2 x² + 5x] (ganti x = 4 dan dikurang x = 1)

[-1/3 (4)³ + 2 (4)² + 5 . 4] - [-1/3 (1)³ + 2 (1)² + 5 . 1]

[- 64/3 + 32 + 20] - [-1/3 + 2 + 5]
[-64/3 + 42] - [8/3]
62/3 - 20/3 = 42/3 = 14 Satuan luas
Jawaban: C

Nomor 8
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x -2, garis x = 1 dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360^o!
A. 18π

B. 28π

C. 38π

D. 48π

E. 58π

Pembahasan
Volume = π ₁∫³ (3x - 2)² dx = π ₁∫³ (9x² - 12x + 4) dx
Volume = π[9/3 x³ - 12/2 x² + 4x]
Volume = π[3x³ - 6x² + 4x] (ganti x = 3 dan dikurang x = 1)
Volume = π[3 (3)³ - 6 (3)² + 4 (3)] - π[3 (1)³ - 6 (1)² + 4 (1)]
Volume = π [(81 - 54 + 12) - (3 - 6 + 4)]
Volume = π (39 - 1) = 38π
Jawaban: B

Nomor 9
Nilai dari intergral ∫(sin 2x) (cos 2x) dx = ...
A. 1/4 Sin² 2x + C
B. 1/2 Sin² 2x + C
C. Sin² 2x + C
D. 2 Sin² 2x + C
E. 4 Sin² 2x + C

Pembahasan
Misal U = sin 2x maka dU/dx = 2 cos 2x sehingga Cos 2x dx = dU/2
∫(sin 2x) (cos 2x) dx = ∫U dU/2 = 1/2 [1/2 U²] (ganti U = sin 2x)
∫(sin 2x) (cos 2x) dx = 1/4 Sin² 2x + C
Jawaban: A

Nomor 10
Hasil integral dari ∫(6x . dx) / (√x² + 9) = ...
A. √(x² + 9) + C
B. 3√(x² + 9) + C
C. 6√(x² + 9) + C
D. -√(x² + 9) + C
E. -3√(x² + 9) + C

Pembahasan
Misal U = x² + 9 maka dU/dx = 2x sehingga x dx = dU/2
∫(6x . dx) / (√x² + 9) = ∫(6 . dU/2)/√U = ∫3 U^-1/2 dU = 3/(1 - 1/2) U^{-1/2 + 1} + C
∫(6x . dx) / (√x² + 9) = 6 U^1/2 + C = 6 √U + C (ganti U = x² + 9)
∫(6x . dx) / (√x² + 9) = 6 √(x² + 9) + C
Jawaban: C